《常微分方程的基本概念》及注意事项小结与课件节选

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常微分方程：含有一元未知函数y(x)导数或微分的等式称为常微分方程．

微分方程的阶：在微分方程中，未知函数导数的最高阶数.

一般的n阶微分方程的形式（也称隐式表达式）为

微分方程的解：函数y=y(x)在区间I上连续，且有直到n阶的导数，将函数及各阶导数代入(*)，有

恒成立．

微分方程的通解：n阶微分方程（*）的包含n个相互独立的任意常数C₁,C₂,…,C_n的解：

包含有与微分方程阶数相同个数任意常数的解为通解的判定：雅可比行列式不恒等于0，即

直观地讲，n个任意常数相互独立就是不能用少于n个常数等价描述n个常数.

微分方程的特解：不包含任意常数的解．

初值问题(柯西问题)：微分方程加上定解条件构成的问题：

积分曲线：微分方程的特解对应的曲线为相应初值问题的积分曲线。若不给定初始条件，微分方程的通解在几何上对应一簇积分曲线．

【注1】：有些初值问题的解可能不止一个，也即解不是惟一的．

【注2】：许多实际问题中的微分方程模型，一般不能够求出精确解（解析解），即微分方程不一定存在有通解．

【注3】：对于包含有个数少于微分方程阶数的任意常数的微分方程的解既不是通解，也不是特解，对应着微分方程的一组解。

【注4】：通解不一定包含微分方程的所有解.

参考课件节选：

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